Matemática básica Ejemplos

$\frac{z^{2} - y^{2}}{z^{- 2} - y^{- 2}}$

Paso 1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = z$ y $b = y$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{z^{- 2} - y^{- 2}}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $z^{- 2}$ como ${(z^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{{(z^{- 1})}^{2} - y^{- 2}}$

Paso 2.2

Reescribe $y^{- 2}$ como ${(y^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{{(z^{- 1})}^{2} - {(y^{- 1})}^{2}}$

Paso 2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = z^{- 1}$ y $b = y^{- 1}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(z^{- 1} + y^{- 1}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{1}{z} + y^{- 1}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Paso 2.4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{1}{z} + \frac{1}{y}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Paso 2.4.3

Para escribir $\frac{1}{z}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{1}{z} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Paso 2.4.4

Para escribir $\frac{1}{y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{z}{z}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{1}{z} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{z}{z}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Paso 2.4.5

Escribe cada expresión con un denominador común de $z y$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.4.5.1

Multiplica $\frac{1}{z}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{y}{z y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{z}{z}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Paso 2.4.5.2

Multiplica $\frac{1}{y}$ por $\frac{z}{z}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{y}{z y} + \frac{z}{y z}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Paso 2.4.5.3

Reordena los factores de $z y$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{y}{y z} + \frac{z}{y z}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Paso 2.4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Paso 2.4.7

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{1}{z} - y^{- 1})}$

Paso 2.4.8

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{1}{z} - \frac{1}{y})}$

Paso 2.4.9

Para escribir $\frac{1}{z}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{1}{z} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y})}$

Paso 2.4.10

Para escribir $- \frac{1}{y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{z}{z}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{1}{z} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y} \cdot \frac{z}{z})}$

Paso 2.4.11

Escribe cada expresión con un denominador común de $z y$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.4.11.1

Multiplica $\frac{1}{z}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{y}{z y} - \frac{1}{y} \cdot \frac{z}{z})}$

Paso 2.4.11.2

Multiplica $\frac{1}{y}$ por $\frac{z}{z}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{y}{z y} - \frac{z}{y z})}$

Paso 2.4.11.3

Reordena los factores de $z y$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{y}{y z} - \frac{z}{y z})}$

Paso 2.4.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} \cdot \frac{y - z}{y z}}$

Paso 3

Multiplica $\frac{y + z}{y z}$ por $\frac{y - z}{y z}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y z (y z)}}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{1} y z \cdot z}}$

Paso 4.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{1} y^{1} z \cdot z}}$

Paso 4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{1 + 1} z \cdot z}}$

Paso 4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{2} z \cdot z}}$

Paso 4.5

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{2} (z^{1} z)}}$

Paso 4.6

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{2} (z^{1} z^{1})}}$

Paso 4.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{2} z^{1 + 1}}}$

Paso 4.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{2} z^{2}}}$

Paso 5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(z + y) (z - y) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Paso 6

Expande $(z + y) (z - y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(z (z - y) + y (z - y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(z \cdot z + z (- y) + y (z - y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(z \cdot z + z (- y) + y z + y (- y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Combina los términos opuestos en $z \cdot z + z (- y) + y z + y (- y)$ .

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Paso 7.1.1

Reordena los factores en los términos $z (- y)$ y $y z$ .

$(z \cdot z - y z + y z + y (- y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Paso 7.1.2

Suma $- y z$ y $y z$ .

$(z \cdot z + 0 + y (- y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Paso 7.1.3

Suma $z \cdot z$ y $0$ .

$(z \cdot z + y (- y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Paso 7.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1

Multiplica $z$ por $z$ .

$(z^{2} + y (- y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Paso 7.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(z^{2} - y \cdot y) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Paso 7.2.3

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 7.2.3.1

Mueve $y$ .

$(z^{2} - (y \cdot y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$(z^{2} - y^{2}) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Paso 7.3

Multiplica $z^{2} - y^{2}$ por $\frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) (y^{2} z^{2})}{(y + z) (y - z)}$

Paso 8

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = z$ y $b = y$ .

$\frac{(z + y) (z - y) y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Paso 9

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 9.1

Cancela el factor común de $z + y$ y $y + z$ .

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Paso 9.1.1

Reordena los términos.

$\frac{(y + z) (z - y) y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Paso 9.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{(y + z) (z - y) y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Paso 9.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(z - y) y^{2} z^{2}}{y - z}$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $z - y$ y $y - z$ .

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Paso 9.2.1

Factoriza $- 1$ de $z$ .

$\frac{(- 1 (- z) - y) y^{2} z^{2}}{y - z}$

Paso 9.2.2

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$\frac{(- 1 (- z) - (y)) y^{2} z^{2}}{y - z}$

Paso 9.2.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- z) - (y)$ .

$\frac{- 1 (- z + y) y^{2} z^{2}}{y - z}$

Paso 9.2.4

Reordena los términos.

$\frac{- 1 (y - z) y^{2} z^{2}}{y - z}$

Paso 9.2.5

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (y - z) y^{2} z^{2}}{y - z}$

Paso 9.2.6

Divide $- 1 y^{2} z^{2}$ por $1$ .

$- 1 y^{2} z^{2}$

Paso 9.3

Reescribe $- 1 y^{2}$ como $- y^{2}$ .

$- y^{2} z^{2}$